No cálculo de uma variável, a integral definida $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ captura a área líquida sob uma curva. Ao entrarmos na terceira dimensão, estendemos essa lógica para encontrar o volume sob uma superfície $z = f(x, y)$.
1. A Definição Formal
Definimos a integral dupla de uma função $f$ sobre um retângulo fechado $R = [a, b] \times [c, d]$ como o limite de uma soma dupla de Riemann:
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
onde $\Delta A = \Delta x \Delta y$ é a área de um sub-retângulo $R_{ij}$, e $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ é qualquer ponto amostral dentro de $R_{ij}$.
1. Particionamento Geométrico: Divida $R$ em $m \times n$ sub-retângulos $R_{ij}$ onde $x_i = a + i\Delta x$ e $y_j = c + j\Delta y$.
2. Aproximação do Sólido: Para cada $R_{ij}$, construa uma coluna de altura $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$. O volume $V$ do sólido $S$ é aproximado por $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$.
3. O Limite: À medida que a malha se torna infinitamente fina ($m, n \to \infty$), a aproximação converge para o volume exato.
2. Teorema do Valor Médio
Assim como a altura média em uma dimensão de uma curva é $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$, o valor médio de uma superfície $z=f(x,y)$ sobre uma região $R$ é:
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
Este $f_{ave}$ representa a altura de um único bloco retangular com base $R$ que conteria o mesmo volume do sólido complexo sob a superfície.